BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER NEDİR??

Diferansiyel denklemler uzun yıllardır, dünyada çoğu fiziksel bilimler ve mühendislik
dallarında önemli bir yer tutmaktadır. Bilim adamları ve mühendisler genellikle değişime
uğrayan sistemleri incelerler ve diferansiyel denklemler mühendislere bir sistemdeki
anahtar değişkenlerin değişimini inceleme ve fiziksel olayı daha iyi anlama olanağı getirir.
Bilim ve matematik öğrencilerine yönelik matematik öğretimi uzun süredir bilim ve
mühendislik fakülteleri arasında bir anlaşmazlık konusu olmuştur. Bilim ve mühendislik
fakülteleri öğrencilerin teorik matematikle aralarının çok da iyi olmadığı konusunda
hemfikirlerdir. Zira bu tarz öğretim öğrencilerin problem çözme becerilerini
geliştirebilmelerine yardımcı olamamaktadır. Bu uygulama çoğu üniversitede bu dersten
başarısızlık oranını % 50’lere kadar çıkarmıştır. Bu ise doğa bilimleri ve mühendislik
bölümleri için önemli bir kayıptır. Bu tartışma ve anlaşmazlık genellikle matematik öğrenimi
gören öğrencilerle doğa bilimleri ve mühendislik öğrenimi gören öğrencilere farklı içerikli
derslerin oluşmasıyla sonuçlanmıştır. Böylece doğa bilimleri ve mühendislik fakülteleri
öğrencilerine kendi disiplinleri içerisinde karşılaştıkları problemleri çözebilmeleri için
matematik derslerini kendileri verme yolunu benimsemişlerdir.
Diferansiyel denklemleri cebirsel denklemlerden ayıran en önemli özellik “fonksiyon
türevleri” içermeleridir. Diferansiyel denklemlerin incelenmesi iyi bir matematik altyapısı
gerektirir ve dolayısıyla öğrencilerin bu derse başlamadan önce bağımlı ve bağımsız
değişken, sürekli ve süreksiz fonksiyon, adi ve kısmi türevler, farklar ve artırımlar ile integral
gibi temel konuları gözden geçirmeleri kesinlikle önerilir.
TEMEL TANIMLAMALAR

Bir ya da daha fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferansiyel denklem
diyoruz. Diğer bir ifadeyle diferansiyel denklem bir takım fonksiyonlar ile bunların türevleri
arasındaki ilişkiyi temsil eder. Bu kavram ilk olarak 1676 yılında Leibniz tarafından kullanıldı
ve diferansiyel denklemler uzun zamandır çok çeşitli pratik problemin modellenmesi ve
çözülmesi için bilim adamları ve mühendisler tarafından kullanılmaktadır. Çoğu bilimsel
problemlerin tarif edilmesi bazı anahtar değişkenlerin diğer değişkenlere göre olan
değişimlerini içerir. Genellikle bu değişkenlerdeki çok küçük değişimlerin dikkate alınması
daha genel ve hassas bir tanımlama sağlar. Değişkenlerin sonsuz küçük veya diferansiyel
değişimlerinin dikkate alınması durumunda, değişim hızlarını türevlerle ifade etmek
suretiyle, fiziksel prensip ve kanunlar için kesin matematiksel formülasyonlar sağlayan
diferansiyel denklemler elde edilir. Bu yüzden diferansiyel denklemler uzun zamandır doğa
bilimleri ve mühendislikte karşılaşılan çok farklı problemlere başarıyla uygulanmaktadır.
Araştırmalar, diferansiyel denklemlerin yeni uygulamalarını keşfetmeye sadece fiziksel
bilimlerde değil aynı zamanda biyoloji, tıp, istatistik, sosyoloji, psikoloji ve ekonomi gibi
alanlarda da devam etmektedirler. Hem teorik hem de uygulamalı diferansiyel denklem
araştırmaları günümüzde çok aktif araştırma konuları arasında bulunmaktadır.
Fiziksel kanun ve prensiplerin, göz önüne alınan değişkenlerdeki sonsuz küçük değişimleri
dikkate almak suretiyle, bir probleme uygulanmasıyla diferansiyel denklemler elde
edilmektedir. Dolayısıyla diferansiyel denklemin elde edilmesi problem hakkında yeterli bilgi
sahibi olmayı, probleme dahil olan değişkenleri belirleyebilmeyi, uygun basitleştirmeler ve
varsayımlar yapabilmeyi, kullanılacak fiziksel prensip ve kanunları bilmeyi ve de dikkatli bir
analiz yapabilmeyi gerektirir.